42В. а) Решите уравнение а) \(2\,{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}-7\,{\left( {x-1} \right)^2} = 13\,\left( {{x^3}-1} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;\;-0,5;\;\;\;\;2;\;\;\;\;4;\) б) \(2.\)
а) \(2{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}-7{\left( {x-1} \right)^2} = 13\left( {{x^3}-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}-7{\left( {x-1} \right)^2}-13\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0.\) Так как \(x = 1\) не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x-1} \right)^2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}}} \right)^2}-7-13\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = 0.\) Пусть \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(2{t^2}-13t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 7,\;\;\,\,}\\{t = -\frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = 7,\,\;\,}\\{\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + x + 1-7x + 7}}{{x-1}} = 0,\,\,}\\{\frac{{2{x^2} + 2x + 2 + x-1}}{{2\left( {x-1} \right)}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x + 8 = 0,\,}\\{2{x^2} + 3x + 1 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\;}\\{x = 4,\;\;\;\;\;}\\{x = -1,\;\,\;\,}\\{x = -0,5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;3} \right].\) \(x = 2 \in \left[ {0;\;3} \right];\;\;\;\;x = 4 \notin \left[ {0;\;3} \right];\;\;\;\;x = -1 \notin \left[ {0;3} \right];\;\;\;\;x = -0,5 \notin \left[ {0;3} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;-0,5;\;\;\;\;2;\;\;\;\;4;\) б) \(2.\)