43В. а) Решите уравнение а)   \(20\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-5\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 48\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{3};\;\frac{5}{3}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{2}{3};\;\;\;\;3;\)

               б) \(\frac{2}{3}.\)

Решение

а) \(20\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-5\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 48\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0,}\\{x-1 \ne 0,}\\{{x^2}-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,}\\{x \ne 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

\(20\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-5\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 48\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;20{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-5{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 48\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0.\)

Так как  \(x =  \pm 2\)  не являются корнями исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на  \(\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(20\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}-5\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}} + 48 = 0.\)

Пусть  \(\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = t.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\(20t-\frac{5}{t} + 48 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20{t^2} + 48t-5 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\frac{5}{2},}\\{t = \frac{1}{{10}}.\;}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = -\frac{5}{2},}\\{\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{10}}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = -\frac{5}{2},}\\{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{10}}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2}-6x + 4 + 5{x^2} + 15x + 10}}{{2\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = 0,}\\{\frac{{10{x^2}-30x + 20-{x^2}-3x-2}}{{10\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{x^2} + 9x + 14 = 0,}\\{3{x^2}-11x + 6 = 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x = 3,\,}\end{array}}\\{x = \frac{2}{3}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\,}\\{x = \frac{2}{3}.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\frac{1}{3};\;\frac{5}{3}} \right].\)

Так как  \(3 = \frac{9}{3} > \frac{5}{3},\)  то  \(x = 3 \notin \left[ {\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right].\)

\(x = \frac{2}{3} \in \left[ {\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{2}{3};\;\;\;\;3;\)

             б) \(\frac{2}{3}.\)