44В. а) Решите уравнение а) \(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;0} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2};\) б) \(\dfrac{{-9 + \sqrt {73} }}{2}.\)
а) \(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0,}\\{x-1 \ne 0,}\\{{x^2}-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,}\\{x \ne 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}-44\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} + 12\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0.\) Так как \(x = \pm 2\) не являются корнями исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \(\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\) Тогда уравнение примет вид: \(5\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}-44\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}} + 12 = 0.\) Пусть \(\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(5t-\dfrac{{44}}{t} + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t^2} + 12t-44 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;\;\;\,}\\{t = -\dfrac{{22}}{5}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 2,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = -\dfrac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 2,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = -\dfrac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-3x + 2-2{x^2}-6x-4}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{5{x^2}-15x + 10 + 22{x^2} + 66x + 44}}{{5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 9x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{27{x^2} + 51x + 54 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2},}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\;0} \right].\) Так как \(8 = \sqrt {64} < \sqrt {73} < \sqrt {81} = 9,\) то \(-18 < -9-\sqrt {73} < -17,\) значит, \(-9 < \dfrac{{-9-\sqrt {73} }}{2} < -8,5.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-9-\sqrt {73} }}{2} \notin \left[ {-1;0} \right].\) Так как \(8 = \sqrt {64} < \sqrt {73} < \sqrt {81} = 9,\) то \(-1 < -9 + \sqrt {73} < 0,\) значит, \(-0,5 < \dfrac{{-9 + \sqrt {73} }}{2} < 0.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-9 + \sqrt {73} }}{2} \in \left[ {-1;0} \right].\) Ответ: а) \(\dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2};\) б) \(\dfrac{{-9 + \sqrt {73} }}{2}.\)