44В. а) Решите уравнение а)   \(5\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;0} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2};\)

               б) \(\frac{{-9 + \sqrt {73} }}{2}.\)

Решение

а) \(5\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0,}\\{x-1 \ne 0,}\\{{x^2}-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,}\\{x \ne 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

\(5\,{\left( {\frac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}-44\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} + 12\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0.\)

Так как  \(x =  \pm 2\)  не являются корнями исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на  \(\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(5\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}-44\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}} + 12 = 0.\)

Пусть  \(\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = t.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\(5t-\frac{{44}}{t} + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t^2} + 12t-44 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;\;\;\,}\\{t = -\frac{{22}}{5}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 2,\;\;\;\;}\\{\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = -\frac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 2,\;\;\;\;}\\{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = -\frac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3x + 2-2{x^2}-6x-4}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{5{x^2}-15x + 10 + 22{x^2} + 66x + 44}}{{5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 9x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{27{x^2} + 51x + 54 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2},}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-1;\;0} \right].\)

Так как  \(8 = \sqrt {64}  < \sqrt {73}  < \sqrt {81}  = 9,\)  то  \(-18 < -9-\sqrt {73}  < -17,\)  значит,  \(-9 < \frac{{-9-\sqrt {73} }}{2} < -8,5.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{-9-\sqrt {73} }}{2} \notin \left[ {-1;0} \right].\)

Так как  \(8 = \sqrt {64}  < \sqrt {73}  < \sqrt {81}  = 9,\)  то  \(-1 < -9 + \sqrt {73}  < 0,\)  значит,  \(-0,5 < \frac{{-9 + \sqrt {73} }}{2} < 0.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{-9 + \sqrt {73} }}{2} \in \left[ {-1;0} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2};\)

             б) \(\frac{{-9 + \sqrt {73} }}{2}.\)