45В. а) Решите уравнение а) \({\left( {2x-2} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}-\sqrt 2 \left( {{x^2}-1} \right)-6 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;\sqrt[3]{4}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } ;\) б) \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
а) \({\left( {2x-2} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}-\sqrt 2 \left( {{x^2}-1} \right)-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\left( {\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right)^2}-\sqrt 2 \left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)-6 = 0.\) Пусть \(\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(4{t^2}-\sqrt 2 t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 ,\;\;\;\,\,\,}\\{t = -\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = \sqrt 2 ,\,\;\;\,\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = -\frac{{3\sqrt 2 }}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-1 = \sqrt 2 ,\,\;\,\;\,}\\{{x^2}-1 = -\frac{{3\sqrt 2 }}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1 + \sqrt 2 ,\,\,\,}\\{{x^2} = 1-\frac{{\sqrt {18} }}{4}.}\end{array}} \right.\) Первое уравнение имеет корни: \(x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } .\) Так как \(\sqrt {18} > \sqrt {16} = 4,\) то \(1-\frac{{\sqrt {18} }}{4} < 0,\) поэтому второе уравнение не имеет решения. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;\sqrt[3]{4}} \right].\) Так как \(\sqrt 2 > \sqrt 1 = 1,\) то \(1 + \sqrt 2 > 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1 + \sqrt 2 } > \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;-\sqrt {1 + \sqrt 2 } < -\sqrt 2 ,\) то \(x = -\sqrt {1 + \sqrt 2 } \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt[3]{4}} \right].\) Так как \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } = \sqrt[6]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = \sqrt[6]{{1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[6]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt[6]{{7 + \sqrt {50} }},\) а \(\sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{{16}} = \sqrt[6]{{7 + 9}} = \sqrt[6]{{7 + \sqrt {81} }},\) тогда \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } = \sqrt[6]{{7 + \sqrt {50} }} < \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{{7 + \sqrt {81} }},\) значит, \(x = \sqrt {1 + \sqrt 2 } \in \left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt[3]{4}} \right].\) Ответ: а) \( \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } ;\) б) \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)