5В. а) Решите уравнение \(\left( {x-3} \right)\,{\left( {x-1} \right)^3} + \left( {3-x} \right)\,{\left( {x-2} \right)^3} = 7\,\left( {x-3} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\,\sqrt 8 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\;3;\) б) \(0.\)
а) \(\left( {x-3} \right)\,{\left( {x-1} \right)^3} + \left( {3-x} \right)\,{\left( {x-2} \right)^3} = 7\,\left( {x-3} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right){\left( {x-1} \right)^3}-\left( {x-3} \right){\left( {x-2} \right)^3}-7\left( {x-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\left( {x-1} \right)}^3}-{{\left( {x-2} \right)}^3}-7} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x-1} \right)}^3}-{{\left( {x-2} \right)}^3}-7 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{x^3}-3{x^2} + 3x-1-{x^3} + 6{x^2}-12x + 8-7 = 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{3{x^2}-9x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x\left( {3x-9} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\,\sqrt 8 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 8 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {-1;\sqrt 8 } \right].\) \(x = 0 \in \left[ {-1;\sqrt 8 } \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\;3;\) б) \(0.\)