а)
\(\left( {x-1} \right)\,{\left( {x-2} \right)^3} + \left( {1-x} \right)\,{\left( {x-3} \right)^3} = 19\,\left( {x-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right){\left( {x-2} \right)^3}-\left( {x-1} \right){\left( {x-3} \right)^3}-19\left( {x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {{{\left( {x-2} \right)}^3}-{{\left( {x-3} \right)}^3}-19} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-2} \right)}^3}-{{\left( {x-3} \right)}^3}-19 = 0,}\\{x-1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-6{x^2} + 12x-8-{x^3} + 9{x^2}-27x + 27-19 = 0,}\\{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2}-15x = 0,}\\{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {3x-15} \right) = 0,}\\{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,}\\{x = 0,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,\,2\sqrt 6 } \right].\)
Так как \(5 = \sqrt {25} > \sqrt {24} = 2\sqrt 6 ,\) то \(x = 5 \notin \left[ {0;2\sqrt 6 } \right].\)
\(x = 0 \in \left[ {0;2\sqrt 6 } \right];\;\;\;\;x = 1 \in \left[ {0;2\sqrt 6 } \right].\)
Ответ: а) \(0;\;\;\;\;1;\;\;\;\;5;\)
б) \(0;\;\;\;\;1.\)