7В. а) Решите уравнение \({\left( {x-\sqrt 3 } \right)^4}-5{\left( {x-\sqrt 3 } \right)^2} + 4 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\sqrt 3 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\sqrt 3 \pm 2;\;\;\;\;\sqrt 3 \pm 1;\) б) \(\sqrt 3 -1.\)
а) \({\left( {x-\sqrt 3 } \right)^4}-5{\left( {x-\sqrt 3 } \right)^2} + 4 = 0.\) Пусть \({\left( {x-\sqrt 3 } \right)^2} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-5t + 4 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)}^2} = 1,}\\{{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\sqrt 3 = -1,}\\{x-\sqrt 3 = 1,\;\;\,}\\{x-\sqrt 3 = -2,}\\{x-\sqrt 3 = 2\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 3 -1,\,}\\{x = \sqrt 3 + 1,\,}\\{x = \sqrt 3 -2,}\\{x = \sqrt 3 + 2.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 < \sqrt 4 = 2,\) то \(0 < \sqrt 3 -1 < 1,\) значит, \(x = \sqrt 3 -1 \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 < \sqrt 4 = 2,\) то \(-1 < \sqrt 3 -2 < 0,\) значит, \(x = \sqrt 3 -2 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) \(x = \sqrt 3 + 1 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right];\;\;\;\;x = \sqrt 3 + 2 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) Ответ: а) \(\sqrt 3 \pm 2;\;\;\;\;\sqrt 3 \pm 1;\) б) \(\sqrt 3 -1.\)