8В. а) Решите уравнение \({\left( {{x^2}-x} \right)^2}-3\left( {{x^2}-x} \right) + 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{7}{{10}};\;\frac{8}{5}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2};\) б) \(\frac{{1-\sqrt 5 }}{2}.\)
а) \({\left( {{x^2}-x} \right)^2}-3\left( {{x^2}-x} \right) + 2 = 0.\) Пусть \({x^2}-x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-3t + 2 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 2.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x = 1,}\\{{x^2}-x = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-1 = 0,}\\{{x^2}-x-2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \frac{{1-\sqrt 5 }}{2},}\\{x = -1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\frac{7}{{10}};\;\frac{8}{5}} \right].\) Так как \(\sqrt 5 > \sqrt {4,84} = 2,2,\) то \(1 + \sqrt 5 > 3,2,\) значит, \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} > 1,6 = \frac{8}{5}.\) Поэтому, \(x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {-\frac{7}{{10}};\frac{8}{5}} \right].\) Так как \(\sqrt 5 < \sqrt {5,76} = 2,4,\) то \(1-\sqrt 5 > -1,4,\) значит, \(\frac{{1-\sqrt 5 }}{2} > -0,7 = -\frac{7}{{10}}.\) Поэтому, \(x = \frac{{1-\sqrt 5 }}{2} \in \left[ {-\frac{7}{{10}};\frac{8}{5}} \right].\) \(x = -1 \notin \left[ {-\frac{7}{{10}};\frac{8}{5}} \right];\;\;\;\;x = 2 \notin \left[ {-\frac{7}{{10}};\frac{8}{5}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2};\) б) \(\frac{{1-\sqrt 5 }}{2}.\)