9В. а) Решите уравнение \(\left( {x\,\left( {x + 1} \right)-7} \right) \cdot \left( {{x^2} + x-4} \right) + 2 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-3;\,0} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-3;\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-1 \pm \sqrt {21} }}{2};\)

               б) \(-3;\;\;\;\;\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}.\)

Решение

а) \(\left( {x\,\left( {x + 1} \right)-7} \right) \cdot \left( {{x^2} + x-4} \right) + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2} + x-7} \right) \cdot \left( {{x^2} + x-4} \right) + 2 = 0.\)

Пусть  \({x^2} + x-4 = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(\left( {t-3} \right)t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-3t + 2 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 2.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-4 = 1,}\\{{x^2} + x-4 = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-5 = 0,}\\{{x^2} + x-6 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-1-\sqrt {21} }}{2},}\\{x = \frac{{-1 + \sqrt {21} }}{2},}\\{x = 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x = -3.\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-3;\,0} \right].\)

Так как  \(4 = \sqrt {16}  < \sqrt {21}  < \sqrt {25}  = 5,\)  то  \(-6 < -1-\sqrt {21}  < -5,\)  значит,  \(-3 < \frac{{-1-\sqrt {21} }}{2} < -2,5.\) Поэтому,  \(x = \frac{{-1-\sqrt {21} }}{2} \in \left[ {-3;0} \right].\)

Так как  \(4 = \sqrt {16}  < \sqrt {21}  < \sqrt {25}  = 5,\)  то  \(3 < -1 + \sqrt {21}  < 4,\)  значит,  \(1,5 < \frac{{-1 + \sqrt {21} }}{2} < 2.\) Поэтому,  \(x = \frac{{-1 + \sqrt {21} }}{2} \notin \left[ {-3;0} \right].\)

\(x = 2 \notin \left[ {-3;0} \right];\;\;\;\;x = -3 \in \left[ {-3;0} \right].\)

Ответ:  а) \(-3;\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-1 \pm \sqrt {21} }}{2};\)

             б) \(-3;\;\;\;\;\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}.\)