12C. Найти коэффициенты a и b уравнения \({x^4} + {x^3}-18{x^2} + ax + b = 0\), если известно, что среди его корней имеются три равных целых числа.
ОТВЕТ: \(a = -52;\;\;b = -40.\)
Пусть корни \({x_1} = {x_2} = {x_3} = c\) и \({x_4} = d\), где c и d целые. Тогда уравнение можно записать в виде: \({\left( {x-c} \right)^3}\left( {x-d} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {{x^3}-3c{x^2} + 3{c^2}x-{c^3}} \right)\left( {x-d} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^4}-\left( {d + 3c} \right){x^3} + \left( {3cd + 3{c^2}} \right){x^2} + \left( {-3{c^2}d-{c^3}} \right)x + {c^3}d = 0.\) Сравнивая полученное уравнение с исходным, составим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d + 3c = -1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{3cd + 3{c^2} = -18,}\\{-3{c^2}d-{c^3} = a,\,\,\,\,}\\{{c^3}d = b.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Из первого уравнения \(d = -3c-1\), подставим во второе: \(c\left( {-3c-1} \right) + {c^2} = -6\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{c^2} + c-6 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = -2,\,\,\,\,\,\,}\\{c = \frac{3}{2}\, \notin \,Z.}\end{array}} \right.\) Тогда: \(d = -3 \cdot \left( {-2} \right)-1 = 5.\) Из третьего уравнения: \(a = -3 \cdot {\left( {-2} \right)^2} \cdot 5-{\left( {-2} \right)^3} = -52,\) а из четвёртого: \(b = {\left( {-2} \right)^3} \cdot 5 = -40.\) Ответ: \(a = -52;\;\;b = -40.\)