12C. Найти коэффициенты  a  и  b  уравнения  \({x^4} + {x^3}-18{x^2} + ax + b = 0\),  если известно, что среди его корней имеются три равных целых числа.

Ответ

ОТВЕТ: \(a = -52;\;\;b = -40.\)

Решение

Пусть корни \({x_1} = {x_2} = {x_3} = c\) и \({x_4} = d\), где  c и d целые.

Тогда уравнение можно записать в виде:

\({\left( {x-c} \right)^3}\left( {x-d} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {{x^3}-3c{x^2} + 3{c^2}x-{c^3}} \right)\left( {x-d} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^4}-\left( {d + 3c} \right){x^3} + \left( {3cd + 3{c^2}} \right){x^2} + \left( {-3{c^2}d-{c^3}} \right)x + {c^3}d = 0.\)

Сравнивая полученное уравнение с исходным, составим систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d + 3c = -1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{3cd + 3{c^2} = -18,}\\{-3{c^2}d-{c^3} = a,\,\,\,\,}\\{{c^3}d = b.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Из первого уравнения \(d = -3c-1\), подставим во второе:

\(c\left( {-3c-1} \right) + {c^2} = -6\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{c^2} + c-6 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = -2,\,\,\,\,\,\,}\\{c = \frac{3}{2}\, \notin \,Z.}\end{array}} \right.\)

Тогда: \(d = -3 \cdot \left( {-2} \right)-1 = 5.\)

Из третьего уравнения:  \(a = -3 \cdot {\left( {-2} \right)^2} \cdot 5-{\left( {-2} \right)^3} = -52,\)

а из четвёртого:  \(b = {\left( {-2} \right)^3} \cdot 5 = -40.\)

Ответ:  \(a = -52;\;\;b = -40.\)