13C. Решить уравнение \({x^4}-4{x^3} + 3{x^2} + 8x-10 = 0\), если известно, что два его корня отличаются друг от друга только знаками.
ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 .\)
Пусть корни уравнения \({x_1} = a\) и \({x_2} = -a.\) Тогда исходное уравнение четвёртой степени можно записать в виде: \(\left( {{x^2}-{a^2}} \right)\left( {{x^2} + bx + c} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^4} + b{x^3} + \left( {c-{a^2}} \right){x^2}-{a^2}bx-{a^2}c = 0.\) Сравнивая исходное уравнение с полученным, составим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = -4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{c-{a^2} = 3,\,\,\,}\\{-{a^2}b = 8,\,\,\,\,\,}\\{-{a^2}c = -10}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = -4,\,\,\,\,\,}\\{a = \pm \sqrt 2 ,}\\{c = 5.\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Следовательно, исходное уравнение примет вид: \(\left( {{x^2}-2} \right)\left( {{x^2}-4x + 5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}-4x + 5 = 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \pm \sqrt 2 .} \right.\) Ответ: \( \pm \sqrt 2 .\)