1В. а) Решите уравнение \(\left| {\,\left| {\,3x-1\,} \right|-3\,} \right| = 2\);;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\,1} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-\frac{4}{3};\;\;\;0;\;\;\;\frac{2}{3};\;\;\;2;\)

               б) \(0;\;\;\;\frac{2}{3}.\)

Решение

а) \(\left| {\,\left| {\,3x-1\,} \right|-3\,} \right| = 2.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a,\)  где \(a \ge 0,\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a,\;\,}\\{f\left( x \right) = -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\,\left| {\,3x-1\,} \right|-3\,} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\,3x-1\,} \right|-3 = 2,\;}\\{\left| {\,3x-1\,} \right|-3 = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\,3x-1\,} \right| = 5,}\\{\left| {\,3x-1\,} \right| = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-1 = 5,\;\;}\\{3x-1 = -5,}\\{3x-1 = 1,\;\;\,}\\{3x-1 = -1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\,\;\;}\\{x = -\frac{4}{3},}\\{x = \frac{2}{3},\;\;\,}\\{x = 0.\;\;\,\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0;\;1} \right].\)

\(x = 2 \notin \left[ {0;\;1} \right];\;\;\;\;x = -\frac{4}{3} \notin \left[ {0;\;1} \right];\;\;\;\;x = \frac{2}{3} \in \left[ {0;\;1} \right];\;\;\;\;x = 0 \in \left[ {0;\;1} \right].\)

Ответ:  а) \(-\frac{4}{3};\;\;\;0;\;\;\;\frac{2}{3};\;\;\;2;\)

              б) \(0;\;\;\;\frac{2}{3}.\)