10В. а) Решите уравнение \(\left| {{x^2}-x-1} \right| = {x^2} + 2x + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt {0,26} ;\;0} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-\frac{2}{3};\;\;\;-\frac{1}{2};\;\;\;0;\) б) \(-\frac{1}{2};\;\;\;0.\)
а) \(\left| {{x^2}-x-1} \right| = {x^2} + 2x + 1.\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\) равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\left| {{x^2}-x-1} \right| = {x^2} + 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 1 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\,\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-1 = {x^2} + 2x + 1,\,}\\{{x^2}-x-1 = -{x^2}-2x-1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + 1} \right)}^2} \ge 0,\,\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = -2,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\left( {2x + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{1}{2},}\\{x = 0\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{1}{2},}\\{x = 0.\,\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {0,26} ;\;0} \right].\) Так как \(-\frac{2}{3} = -\sqrt {\frac{4}{9}} = -\sqrt {\frac{{400}}{{900}}} < -\sqrt {\frac{{234}}{{900}}} = -\sqrt {\frac{{26}}{{100}}} = -\sqrt {0,26} ,\) то \(x = -\frac{2}{3} \notin \left[ {-\sqrt {0,26} ;\;0} \right].\) Так как \(-\sqrt {0,26} = -\sqrt {\frac{{26}}{{100}}} < -\sqrt {\frac{{25}}{{100}}} = -\sqrt {\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} < 0,\) то \(x = -\frac{1}{2} \in \left[ {-\sqrt {0,26} ;\;0} \right].\) \(x = 0 \in \left[ {-\sqrt {0,26} ;\;0} \right].\) Ответ: а) \(-\frac{2}{3};\;\;\;-\frac{1}{2};\;\;\;0;\) б) \(-\frac{1}{2};\;\;\;0.\)