11В. а) Решите уравнение \(\left| {{x^2}-2x-4} \right| = {x^2}-4x + 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;{\rm{\pi }}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;3;\;\;\;4;\) б) \(3.\)
а) \(\left| {{x^2}-2x-4} \right| = {x^2}-4x + 4.\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\) равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\left| {{x^2}-2x-4} \right| = {x^2}-4x + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4x + 4 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\,\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x-4 = {x^2}-4x + 4,\;}\\{{x^2}-2x-4 = -{x^2} + 4x-4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-2} \right)}^2} \ge 0,\,\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 8,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\left( {2x-6} \right) = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 0.}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;{\rm{\pi }}} \right].\) Так как \(4 > \pi \approx 3,14,\) то \(x = 4 \notin \left[ {1;\;{\rm{\pi }}} \right].\) Так как \(1 < 3 < \pi \approx 3,14,\) то \(x = 3 \in \left[ {1;\;{\rm{\pi }}} \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {1;\;{\rm{\pi }}} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;3;\;\;\;4;\) б) \(3.\)