12В. а) Решите уравнение \(\left| {2x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2x + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0,3;\;0,99} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{3};\;\;\;1;\) б) \(\frac{1}{3}.\)
а) \(\left| {2x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2x + 1.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{-2x + 1-x-1 = 2x + 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-2x + 1 + x + 1 = 2x + 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{2x-1 + x + 1 = 2x + 1.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{-2x + 1-x-1 = 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,}\\{5x = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\;\;\,}\\{x = -0,2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-2x + 1 + x + 1 = 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,}\\{3x = 1\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,}\\{x = \frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{1}{3}.\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{2x-1 + x + 1 = 2x + 1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,}\\{x = 1\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3},}\\{x = 1.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0,3;\;0,99} \right].\) Так как \(0,3 = \frac{3}{{10}} = \frac{9}{{30}} < \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3} < 0,99,\) то \(x = \frac{1}{3} \in \left[ {0,3;\;0,99} \right].\) \(x = 1 \notin \left[ {0,3;\;0,99} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{3};\;\;\;1;\) б) \(\frac{1}{3}.\)