Профиль №13. Уравнения с модулями. Задача 14В

ОТВЕТ:  а) \(-\frac{{10}}{3};\;\;\;2;\)

               б) \(2.\)

а) \(\left| {x + 3} \right| + \left| {2x-1} \right| = 8.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x-3-2x + 1 = 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\,}\\{x + 3-2x + 1 = 8}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x + 3 + 2x-1 = 8.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x-3-2x + 1 = 8}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x <  — 3,\,\;\;}\\{x = -\frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{{10}}{3}.\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\,}\\{x + 3-2x + 1 = 8}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,5,}\\{x = -4\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{x + 3 + 2x-1 = 8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,}\\{x = 2\,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\,}\\{x = -\frac{{10}}{3}.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\)

Так как  \(0 < 2 = \sqrt 4  < \sqrt 5 ,\)  то  \(x = 2 \in \left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\)

\(x = -\frac{{10}}{3} \notin \left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\)

Ответ:  а) \(-\frac{{10}}{3};\;\;\;2;\)

             б) \(2.\)