16В. а) Решите уравнение \(\left| {4x-8} \right|-3\left| {x-1} \right| = -2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1,8;\;\sqrt 8 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{{13}}{7};\;\;\;3;\) б) \(\frac{{13}}{7}.\)
а) \(\left| {4x-8} \right|-3\left| {x-1} \right| = -2.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-4x + 8 + 3x-3 = -2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{-4x + 8-3x + 3 = -2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4x-8-3x + 3 = -2.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-4x + 8 + 3x-3 = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x = 7}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{-4x + 8-3x + 3 = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,}\\{x = \frac{{13}}{7}\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{13}}{7}.\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4x-8-3x + 3 = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x = 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;}\\{x = \frac{{13}}{7}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1,8;\;\sqrt 8 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 8 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {1,8;\;\sqrt 8 } \right].\) Так как \(1,8 = \frac{9}{5} = \frac{{63}}{{35}} < \frac{{65}}{{35}} = \frac{{13}}{7} = \sqrt {\frac{{169}}{{49}}} < \sqrt {\frac{{392}}{{49}}} = \sqrt 8 ,\) то \(x = \frac{{13}}{7} \in \left[ {1,8;\;\sqrt 8 } \right].\) Ответ: а) \(\frac{{13}}{7};\;\;\;3;\) б) \(\frac{{13}}{7}.\)