17В. а) Решите уравнение \(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm 2;\) б) \(2.\)
а) \(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 4.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,}\\{x = -2\,}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -2.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,}\\{2 = 4\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,}\\{x = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(x = \pm 2.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(0 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) \(x = -2 \notin \left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \( \pm 2;\) б) \(2.\)