19В. а) Решите уравнение \(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;-1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\left[ {-1;\;1} \right];\) б) \(-1.\)
а) \(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\-x + 1-x-1 = 2\end{array} \right.\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}-1 \le x \le 1,\\-x + 1 + x + 1 = 2\end{array} \right.}\\{\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x-1 + x + 1 = 2.\end{array} \right.\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\-x + 1-x-1 = 2\end{array} \right.\,\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\x = -1\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}-1 \le x \le 1,\\-x + 1 + x + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-1 \le x \le 1,\\2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-1;1} \right].\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x-1 + x + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x = 1\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(x \in \left[ {-1;1} \right].\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;-1} \right].\) Так как \(x \in \left[ {-1;1} \right],\) то решением уравнения, принадлежащим отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;-1} \right],\) является \(x = -1.\) Ответ: а) \(\left[ {-1;\;1} \right];\) б) \(-1.\)