2В. а) Решите уравнение \(\left| {\,3-\left| {\,x + 1\,} \right|\,} \right| = 1\);;
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-5;\;\;\;-3;\;\;\;1;\;\;\;3;\) б) \(-3;\;\;\;1.\)
а) \(\left| {\,3-\left| {\,x + 1\,} \right|\,} \right| = 1.\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a,\) где \(a \ge 0,\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a,\;\,}\\{f\left( x \right) = -a.}\end{array}} \right.\) \(\left| {\,3-\left| {\,x + 1\,} \right|\,} \right| = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3-\left| {\,x + 1\,} \right| = 1,\;}\\{3-\left| {\,x + 1\,} \right| = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\,x + 1\,} \right| = 2,}\\{\left| {\,x + 1\,} \right| = 4\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 2,\;\;}\\{x + 1 = -2,}\\{x + 1 = 4,\;\,}\\{x + 1 = -4\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\,\;}\\{x = -3,}\\{x = 3,\;\,}\\{x = -5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(-4 < 1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 ,\) то \(x = 1 \in \left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(-4 < -3 < \sqrt 2 ,\) то \(x = -3 \in \left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 2 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right].\) \(x = -5 \notin \left[ {-4;\;\sqrt 2 } \right].\) Ответ: а) \(-5;\;\;\;-3;\;\;\;1;\;\;\;3;\) б) \(-3;\;\;\;1.\)