22В. а) Решите уравнение \(\left| {x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| = 8\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\pi } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-5;\;\;\;3;\) б) \(3.\)
а) \(\left| {x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| = 8.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\-x + 2-x-4 = 8\end{array} \right.\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\-x + 2 + x + 4 = 8\end{array} \right.}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x-2 + x + 4 = 8.\end{array} \right.\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\-x + 2-x-4 = 8\end{array} \right.\,\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\x = -5\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -5.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\-x + 2 + x + 4 = 8\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\6 = 8\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x-2 + x + 4 = 8\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x = 3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\,\,}\\{x = -5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\pi } \right].\) Так как \(0 < 3 < \pi \approx 3,14,\) то \(x = 3 \in \left[ {0;\;\pi } \right].\) \(x = -5 \notin \left[ {0;\;\pi } \right].\) Ответ: а) \(-5;\;\;\;3;\) б) \(3.\)