а) \(\left| {x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| = 8.\)
Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\-x + 2-x-4 = 8\end{array} \right.\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\-x + 2 + x + 4 = 8\end{array} \right.}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x-2 + x + 4 = 8.\end{array} \right.\;\,}\end{array}} \right.\)
Рассмотрим первую систему:
\(\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\-x + 2-x-4 = 8\end{array} \right.\,\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -4,\\x = -5\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -5.\)
Рассмотрим вторую систему:
\(\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\-x + 2 + x + 4 = 8\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-4 \le x < 2,\\6 = 8\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Рассмотрим третью систему:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x-2 + x + 4 = 8\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x = 3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\)
Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\,\,}\\{x = -5.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\pi } \right].\)
Так как \(0 < 3 < \pi \approx 3,14,\) то \(x = 3 \in \left[ {0;\;\pi } \right].\)
\(x = -5 \notin \left[ {0;\;\pi } \right].\)
Ответ: а) \(-5;\;\;\;3;\)
б) \(3.\)