23В. а) Решите уравнение \(\left| {x-5} \right|-\left| {x-2} \right| = -3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;5} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\left[ {5;\;\infty } \right);\) б) \(5.\)
а) \(\left| {x-5} \right|-\left| {x-2} \right| = -3.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\-x + 5 + x-2 = -3\end{array} \right.\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}2 \le x < 5,\\-x + 5-x + 2 = -3\end{array} \right.\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5,\\x-5-x + 2 = -3.\end{array} \right.\;\;}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\-x + 5 + x-2 = -3\end{array} \right.\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\3 = -3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \le x < 5,\\-x + 5-x + 2 = -3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}2 \le x < 5,\\x = 5\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5,\\x-5-x + 2 = -3\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5,\\-3 = -3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {5;\infty } \right).\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(x \in \left[ {5;\infty } \right).\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;5} \right].\) Так как \(x \in \left[ {5;\infty } \right),\) то решением уравнения, принадлежащим отрезку \(\left[ {0;\;5} \right],\) является \(x = 5.\) Ответ: а) \(\left[ {5;\;\infty } \right);\) б) \(5.\)