24В. а) Решите уравнение \(x\left| x \right|-\left| {{x^2} + 3x + 3} \right| + 8 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1,6;\,\,2} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-\frac{5}{2};\;\;\;\frac{5}{3};\) б) \(\frac{5}{3}.\)
а) \(x\left| x \right|-\left| {{x^2} + 3x + 3} \right| + 8 = 0.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + 3x + 3\) положительный, то \({x^2} + 3x + 3 > 0\) при \(x \in R,\) поэтому \(\left| {{x^2} + 3x + 3} \right| = {x^2} + 3x + 3.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(x\left| x \right|-{x^2}-3x-3 + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left| x \right| = {x^2} + 3x-5.\) Решим полученное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2} = {x^2} + 3x-5}\end{array}\;\;\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-{x^2} = {x^2} + 3x-5.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2} = {x^2} + 3x-5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\,}\\{3x = 5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,}\\{x = \frac{5}{3}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{5}{3}.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-{x^2} = {x^2} + 3x-5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2{x^2} + 3x-5 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{5}{2},}\\{x = 1\;\;\,\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{5}{2}.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{3},\,\;\,}\\{x = -\frac{5}{2}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1,6;\,\,2} \right].\) Так как \(1,6 = \frac{8}{5} = \frac{{24}}{{15}} < \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3} < \frac{6}{3} = 2,\) то \(x = \frac{5}{3} \in \left[ {1,6;\,\,2} \right].\) \(x = -\frac{5}{2} \notin \left[ {1,6;\,\,2} \right].\) Ответ: а) \(-\frac{5}{2};\;\;\;\frac{5}{3};\) б) \(\frac{5}{3}.\)