25В. а) Решите уравнение \(\frac{5}{{3-\left| {x-1} \right|}} = \left| x \right| + 2\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0,2;\;2} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\sqrt 5 -2;\;\;\;3;\)

               б) \(\sqrt 5 -2.\)

Решение

а) \(\frac{5}{{3-\left| {x-1} \right|}} = \left| x \right| + 2.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{5}{{2 + x}} = -x + 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\,\;\;\,}\\{\frac{5}{{2 + x}} = x + 2}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{5}{{4-x}} = x + 2.}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{5}{{2 + x}} = -x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{5 + 2x-4 + {x^2}-2x}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\,\;\,}\\{\frac{{{x^2} + 1}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = -1,}\\{x \ne -2\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\;\,}\\{\frac{5}{{2 + x}} = x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\,\;\,}\\{\frac{{5-{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 5 -2,\;\;}\\{x = -\sqrt 5 -2}\end{array}} \right.}\\{x \ne -2\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \sqrt 5 -2.\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{5}{{4-x}} = x + 2}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{5-4x-8 + {x^2} + 2x}}{{4-x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,;\;\,}\\{\frac{{{x^2}-2x-3}}{{4-x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = -1}\end{array}} \right.}\\{x \ne 4\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 5 -2,}\\{x = 3.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0,2;\;2} \right].\)

Так как  \(2,2 = \sqrt {4,84}  < \sqrt 5  < \sqrt 9  = 3,\)  то  \(0,2 < \sqrt 5 -2 < 1.\)  Тогда:  \(x = \sqrt 5 -2 \in \left[ {0,2;\;2} \right].\)

\(x = 3 \notin \left[ {0,2;\;2} \right].\)

Ответ:  а) \(\sqrt 5 -2;\;\;\;3;\)

             б) \(\sqrt 5 -2.\)