27В. а) Решите уравнение \(\left| {\,{x^2}-3\left| x \right| + 1\,} \right| = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\; \pm 1;\;\;\; \pm 2;\;\;\; \pm 3;\) б) \(0;\;\;\; \pm 1.\)
а) \(\left| {{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right| = 1.\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a,\) где \(a \ge 0,\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a,\;\,}\\{f\left( x \right) = -a.}\end{array}} \right.\) \(\left| {{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right| = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3\left| x \right| + 1 = 1,\;\,}\\{{x^2}-3\left| x \right| + 1 = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| x \right|}^2}-3\left| x \right| = 0,\;\;\;\;\,\,}\\{{{\left| x \right|}^2}-3\left| x \right| + 2 = 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе уравнение полученной совокупности. Пусть \(\left| x \right| = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда это уравнение примет вид: \({t^2}-3t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,}\\{t = 2.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| x \right|}^2}-3\left| x \right| = 0,\;\;\;\;\,}\\{{{\left| x \right|}^2}-3\left| x \right| + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right|\left( {\left| x \right|-3} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {\left| x \right|-1} \right)\left( {\left| x \right|-2} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| = 0,}\\{\left| x \right| = 3,}\\{\left| x \right| = 1,\,}\\{\left| x \right| = 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\,}\\{x = \pm 3,}\\{x = \pm 1,}\\{x = \pm 2.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\;1} \right].\) \(x = 0 \in \left[ {-1;1} \right];\;\;\;\;x = -3 \notin \left[ {-1;1} \right];\;\;\;\;x = 3 \notin \left[ {-1;1} \right];\;\;\;\;x = -1 \in \left[ {-1;1} \right];\) \(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right];\;\;\;\;x = -2 \notin \left[ {-1;1} \right];\;\;\;\;x = 2 \notin \left[ {-1;1} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\; \pm 1;\;\;\; \pm 2;\;\;\; \pm 3;\) б) \(0;\;\;\; \pm 1.\)