29В. а) Решите уравнение \(\left| {\,\left| {2x-8} \right|-x\,} \right| = 7-x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;4} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\frac{{15}}{4};\)

               б) \(\frac{{15}}{4}.\)

Решение

а) \(\left| {\,\left| {2x-8} \right|-x\,} \right| = 7-x.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно системе:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\,\left| {2x-8} \right|-x\,} \right| = 7-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7-x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-8} \right|-x = 7-x,}\\{\left| {2x-8} \right|-x = x-7\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-8} \right| = 7,\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left| {2x-8} \right| = 2x-7.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первое уравнение.  Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a,\)  где \(a \ge 0,\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a,\;\,}\\{f\left( x \right) = -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {2x-8} \right| = 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-8 = 7,\;}\\{2x-8 = -7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15}}{2},}\\{x = \frac{1}{2}.\;\,}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим второе уравнение:

\(\left| {2x-8} \right| = 2x-7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-7 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-8 = 2x-7,\;}\\{2x-8 = -2x + 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{7}{2},\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-8 = -7,}\\{4x = 15\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{7}{2},\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\,}\\{x = \frac{{15}}{4}\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{15}}{4}.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-8} \right| = 7,\,\;\;\;\;\;\,}\\{\left| {2x-8} \right| = 2x-7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15}}{2},}\\{x = \frac{1}{2},\;\,}\\{x = \frac{{15}}{4}\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2},\;}\\{x = \frac{{15}}{4}.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {1;\;4} \right].\)

Так как  \(\frac{1}{2} < \frac{2}{2} = 1,\)  то  \(x = \frac{1}{2} \notin \left[ {1;\;4} \right].\)

Так как  \(1 = \frac{4}{4} < \frac{{15}}{4} < \frac{{16}}{4},\)  то  \(x = \frac{{15}}{4} \in \left[ {1;\;4} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\frac{{15}}{4};\)

             б) \(\frac{{15}}{4}.\)