Профиль №13. Уравнения с модулями. Задача 3В

ОТВЕТ:  а) \(\sqrt 3 ;\;\;\;1;\)

               б) \(\sqrt 3 .\)

а) \(\left| {{x^2} + x-3} \right| = x.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно системе:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {{x^2} + x-3} \right| = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-3 = -x,}\\{{x^2} + x-3 = x\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x-3 = 0,}\\{{x^2}-3 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0,\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x-\sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right) = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\,}\\{x = -3,\;\,\,}\\{x = \sqrt 3 ,\;}\\{x = -\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\,\,}\\{x = \sqrt 3 .}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt 5 } \right].\)

Так как  \(1 = \sqrt 1  < \sqrt 2 ,\)  то  \(x = 1 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt 5 } \right].\)

\(x = \sqrt 3  \in \left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt 5 } \right].\)

Ответ:  а) \(\sqrt 3 ;\;\;\;1;\)

             б) \(\sqrt 3 .\)