30В. а) Решите уравнение \(\left| {\,\left| {2x-7} \right|-x\,} \right| = 7-x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\frac{7}{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(0 \cup \left[ {\frac{7}{2};\;\;7} \right];\)

               б) \(0;\;\;\;\,\frac{7}{2}.\)

Решение

а) \(\left| {\,\left| {2x-7} \right|-x\,} \right| = 7-x.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно системе:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\,\left| {2x-7} \right|-x\,} \right| = 7-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7-x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-7} \right|-x = 7-x,}\\{\left| {2x-7} \right|-x = x-7\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-7} \right| = 7,\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left| {2x-7} \right| = 2x-7.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первое уравнение.  Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a,\)  где \(a \ge 0,\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a,\;\,}\\{f\left( x \right) = -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {2x-7} \right| = 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-7 = 7,\;}\\{2x-7 = -7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим второе уравнение:

\(\left| {2x-7} \right| = 2x-7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-7 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-7 = 2x-7,\;}\\{2x-7 =  — 2x + 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{7}{2},\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 0,\;\;\,}\\{4x = 14}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{7}{2},\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,}\\{x = \frac{7}{2}\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {\frac{7}{2};\infty } \right).\)

Тогда:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2x-7} \right| = 7,\,\;\;\;\;\;\,}\\{\left| {2x-7} \right| = 2x-7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 7,\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \in \left[ {\frac{7}{2};\infty } \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in 0 \cup \left[ {\frac{7}{2};7} \right].\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0;\;\frac{7}{2}} \right].\)

Так как  \(x \in 0 \cup \left[ {\frac{7}{2};7} \right],\)  то решением уравнения, принадлежащим отрезку \(\left[ {0;\;\frac{7}{2}} \right],\)  является  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,}\\{x = \frac{7}{2}.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  а) \(0 \cup \left[ {\frac{7}{2};\;\;7} \right];\)

             б) \(0;\;\;\;\,\frac{7}{2}.\)