5В. а) Решите уравнение \(\left| {\,2{x^2} + x-4\,} \right| = \left| {\,{x^2} + 2x-2\,} \right|\); 

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;1} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm 1;\;\;\; \pm 2;\)

               б) \( \pm 1.\)

Решение

а) \(\left| {\,2{x^2} + x-4\,} \right| = \left| {\,{x^2} + 2x-2\,} \right|.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\,2{x^2} + x-4\,} \right| = \left| {\,{x^2} + 2x-2\,} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + x-4 = {x^2} + 2x-2,\;}\\{2{x^2} + x-4 = -{x^2}-2x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,}\\{{x^2} + x-2 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\,}\\{x = -1,}\\{x = 1,\;\;\,}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-1;\;1} \right].\)

\(x = 2 \notin \left[ {-1;\,\,1} \right];\;\;\;\;x = -1 \in \left[ {-1;\,\,1} \right];\;\;\;\;x = 1 \in \left[ {-1;\,\,1} \right];\;\;\;\;x = -2 \notin \left[ {-1;\,\,1} \right].\)

Ответ:  а) \( \pm 1;\;\;\; \pm 2;\)

             б) \( \pm 1.\)