Профиль №13. Уравнения с модулями. Задача 6В

ОТВЕТ:  а) \(-1;\;\;\;0;\)

               б) \(-1.\)

а) \(\left| {{x^2}-2x-1} \right| = 1-x.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно системе:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {{x^2}-2x-1} \right| = 1-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x-1 = 1-x,\;\,}\\{{x^2}-2x-1 = -1 + x}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,}\\{{x^2}-3x = 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0,}\\{x\left( {x-3} \right) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1,\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\,}\\{x = -1,}\\{x = 0,\;\,}\\{x = 3\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\)

Так как  \(-\sqrt 2  < -\sqrt 1  = -1 < -\frac{\pi }{4} \approx -\frac{{3,14}}{4},\)  то  \(x = -1 \in \left[ {-\sqrt 2 ;\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\)

\(x = 0 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\)

Ответ:  а) \(-1;\;\;\;0;\)

             б) \(-1.\)