7В. а) Решите уравнение \(\left| {x-1} \right| = {x^2}-5x + 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;5;\) б) \(1.\)
а) \(\left| {x-1} \right| = {x^2}-5x + 4.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 = {x^2}-5x + 4}\end{array}\;\;\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{-x + 1 = {x^2}-5x + 4.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 = {x^2}-5x + 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{{x^2}-6x + 5 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,}\\{x = 1\,\,}\end{array}} \right.\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,}\\{x = 1\,.\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 = {x^2}-5x + 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-4x + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 1\,\,}\end{array}} \right.\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \right].\) Так как \(5 > \frac{\pi }{3} \approx \frac{{3,14}}{3},\) то \(x = 5 \notin \left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \right].\) Так как \(\frac{1}{{16}} < 1 < \frac{\pi }{3} \approx \frac{{3,14}}{3},\) то \(x = 1 \in \left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \right].\) Ответ: а) \(1;\;\;\;5;\) б) \(1.\)