8В. а) Решите уравнение \(\left| {{x^2} + 4x + 2} \right| = x + 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}};\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;0;\) б) \(-1.\)
а) \(\left| {{x^2} + 4x + 2} \right| = x + 2.\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\) равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\;}\\{f\left( x \right) = — g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\left| {{x^2} + 4x + 2} \right| = x + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4x + 2 = x + 2,\;}\\{{x^2} + 4x + 2 = -x-2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x = 0,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 5x + 4 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x + 3} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;}\\{x = -3,}\\{x = -4,}\\{x = -1\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}};\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\) Так как \(-\frac{\pi }{3} \approx -\frac{{3,14}}{3} < -1 < -\frac{\pi }{4} \approx -\frac{{3,14}}{4},\) то \(x = -1 \in \left[ {-\frac{{\rm{\pi }}}{3};\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {-\frac{{\rm{\pi }}}{3};\;-\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;0;\) б) \(-1.\)