9В. а) Решите уравнение \(\left| {{x^2} + 6x + 7} \right| = -x-3\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-4;\;-3} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-5;\;\;\;-4;\)

               б) \(-4.\)

Решение

а) \(\left| {{x^2} + 6x + 7} \right| = -x-3.\)

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно системе:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {{x^2} + 6x + 7} \right| = -x-3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-x-3 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 6x + 7 = -x-3,}\\{{x^2} + 6x + 7 = x + 3\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 7x + 10 = 0,}\\{{x^2} + 5x + 4 = 0\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 2} \right) = 0,}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -3,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -5,\;\;\,}\\{x = -2,\;\,\,}\\{x = -4,\;\,\;}\\{x = -1\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -5,}\\{x = -4.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-4;\;-3} \right].\)

\(x = -5 \notin \left[ {-4;\;-3} \right];\;\;\;\;x = -4 \in \left[ {-4;\;-3} \right].\)

Ответ:  а) \(-5;\;\;\;-4;\)

             б) \(-4.\)