1В. а) Решите уравнение \(\sqrt {5 + x} -\sqrt {5-x} = \sqrt {x-1} \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1,4;\;\;\;\;3;\) б) \(3.\)
а) \(\sqrt {5 + x} -\sqrt {5-x} = \sqrt {x-1} .\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}x-1 \ge 0,\\5 + x \ge 0,\\5-x \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1,\\x \ge -5,\\x \le 5\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {1;5} \right].\) \(\sqrt {5 + x} -\sqrt {5-x} = \sqrt {x-1} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {5 + x} = \sqrt {5-x} + \sqrt {x-1} .\) Так как обе части последнего уравнения неотрицательны при \(x \in \left[ {1;5} \right],\) то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней. \({\left( {\sqrt {5 + x} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {5-x} + \sqrt {x-1} } \right)^2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5 + x = 5-x + 2\sqrt {5-x} \sqrt {x-1} + x-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sqrt {\left( {5-x} \right)\left( {x-1} \right)} = x + 1.\) Получили уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4\left( {5x-5-{x^2} + x} \right) = {x^2} + 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{5{x^2}-22x + 21 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\,}\\{{x} = 1,4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;\,}\\{{x} = 1,4.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;3} \right].\) \(x = 3 \in \left[ {2;3} \right];\) \(x = 1,4 \notin \left[ {2;3} \right].\) Ответ: а) \(1,4;\;\;\;\;3;\) б) \(3.\)