10В. а) Решите уравнение \(x = \sqrt {9 + x\sqrt {24 + {x^2}} } -3\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt {0,9} ;\,\,\sqrt {0,1} } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-1;\;\;\;\;0;\)

               б) \(0.\)

Решение

а) \(x = \sqrt {9 + x\sqrt {24 + {x^2}} } -3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {9 + x\sqrt {24 + {x^2}} }  = x + 3.\)

Уравнение вида  \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

Тогда последнее уравнение примет вид:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{9 + x\sqrt {24 + {x^2}}  = {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{x\left( {\sqrt {24 + {x^2}} -x-6} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {24 + {x^2}}  = x + 6,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим уравнение последней системы:

\(\sqrt {24 + {x^2}}  = x + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{24 + {x^2} = {x^2} + 12x + 36}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -6,}\\{x = -1.}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {24 + {x^2}}  = x + 6,}\\{x = 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 0\,\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 0.\;\,}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-\sqrt {0,9} ;\sqrt {0,1} } \right].\)

Так как  \(-1 = -\sqrt 1  < -\sqrt {0,9} ,\)  то  \(x = -1 \notin \left[ {-\sqrt {0,9} ;\sqrt {0,1} } \right].\)

\(x = 0 \in \left[ {-\sqrt {0,9} ;\sqrt {0,1} } \right].\)

Ответ:  а) \(-1;\;\;\;\;0;\)

             б) \(0.\)