11В. а) Решите уравнение \(\sqrt {{x^3}-4{x^2}-10x + 29} = 3-x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 3 ;\,\,\sqrt {30} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;\;2;\) б) \(2.\)
а) \(\sqrt {{x^3}-4{x^2}-10x + 29} = 3-x.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\sqrt {{x^3}-4{x^2}-10x + 29} = 3-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}3-x \ge 0,\\{x^3}-4{x^2}-10x + 29 = 9-6x + {x^2}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\{x^3}-5{x^2}-4x + 20 = 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\{x^2}\left( {x-5} \right)-4\left( {x-5} \right) = 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\\left( {x-5} \right)\left( {{x^2}-4} \right) = 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-5 = 0,\;}\\{{x^2}-4 = 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 2\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 2.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 3 ;\,\,\sqrt {30} } \right].\) Так как \(-2 = -\sqrt 4 < -\sqrt 3 ,\) то \(x = -2 \notin \left[ {-\sqrt 3 ;\sqrt {30} } \right].\) Так как \(-\sqrt 3 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt {30} ,\) то \(x = 2 \in \left[ {-\sqrt 3 ;\sqrt {30} } \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;2;\) б) \(2.\)