12В. а) Решите уравнение \(x-3\sqrt {x-1} + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 3 ;\,\sqrt {20} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2;\;\;\;\;5;\) б) \(2.\)
а) \(x-3\sqrt {x-1} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt {x-1} = x + 1.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;}\\{9\left( {x-1} \right) = {x^2} + 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-7x + 10 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 5\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 5.\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 3 ;\,\sqrt {20} } \right].\) Так как \(\sqrt 3 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt {20} ,\) то \(x = 2 \in \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt {20} } \right].\) Так как \(5 = \sqrt {25} > \sqrt {20} ,\) то \(x = 5 \notin \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt {20} } \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;\;5;\) б) \(2.\)