a)
\(\sqrt {{x^2}-2x + 1} + \sqrt {{x^2} + 2x + 1} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\sqrt {{{\left( {x-1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2.\)
Решим полученное уравнение методом интервалов. Рассмотрим случай \(x < -1:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\-x + 1-x-1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\2x = -2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -1,\\x = -1\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Рассмотрим случай \(-1 \le x \le 1:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}-1 \le x \le 1,\\-x + 1 + x + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-1 \le x \le 1,\\2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left[ {-1;1} \right].\)
Рассмотрим случай \(x > 1:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x-1 + x + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\2x = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x = 1\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Следовательно, решением исходного уравнения является \(x \in \left[ {-1;1} \right].\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;2} \right].\)
Отрезки \(x \in \left[ {-1;1} \right]\) и \(x \in \left[ {1;2} \right]\) имеют только одну общую точку \(x = 1.\)
Ответ: а) \(\,\left[ {-1;1} \right];\)
б) \(1.\)