а) \(2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 5\sqrt[6]{{{x^2}}}-18 = 0.\)
Запишем ОДЗ: \({x^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\)
\(2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 5\sqrt[6]{{{x^2}}}-18 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sqrt[6]{{{x^4}}} + 5\sqrt[6]{{{x^2}}}-18 = 0.\)
Пусть \(\sqrt[6]{{{x^2}}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид:
\(2{t^2} + 5t-18 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = -\frac{9}{2} < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной: \(\sqrt[6]{{{x^2}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 64\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 8.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;\,\,\sqrt {65} } \right].\)
Так как \(3 < 8 = \sqrt {64} < \sqrt {65} ,\) то \(x = 8 \in \left[ {3;\sqrt {65} } \right].\)
\(x = -8 \notin \left[ {3;\sqrt {65} } \right].\)
Ответ: а) \(-8;\;\;\;\;8;\)
б) \(8.\)