Профиль №13. Иррациональные уравнения. Задача 16В

16В. а) Решите уравнение \(\sqrt {{x^2} + 32} -2\,\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt {50} ;\;\sqrt {48} } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ: а) \(-7;\;\;\;\;7;\)

б) \(-7.\)

Решение

а)

\(\sqrt {{x^2} + 32} -2\,\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[4]{{{{\left( {{x^2} + 32} \right)}^2}}}-2\sqrt[4]{{{x^2} + 32}}-3 = 0.\)

Пусть \(\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид:

\({t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -1 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 32 = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 49\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 7.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {50} ;\sqrt {48} } \right].\)

Так как \(7 = \sqrt {49} > \sqrt {48} ,\) то \(x = 7 \notin \left[ {-\sqrt {50} ;\sqrt {48} } \right].\)

Так как \(-\sqrt {50} < -\sqrt {49} = -7 < \sqrt {48} ,\) то \(x = -7 \in \left[ {-\sqrt {50} ;\sqrt {48} } \right].\)

Ответ: а) \(-7;\;\;\;\;7;\)

б) \(-7.\)