Профиль №13. Иррациональные уравнения. Задача 17Вmath100admin44242023-10-27T15:07:09+03:00
17В. а) Решите уравнение \(\sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = 6\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 3 ;\,\,\sqrt 5 } \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(2;\)
б) \(2.\)
Решение
а)
\(\sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[4]{{{{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} + \sqrt[4]{{{x^3} + 8}}-6 = 0.\)
Пусть \(\sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид:
\({t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -3 < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^3} + 8 = 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^3} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 3 ;\,\,\sqrt 5 } \right].\)
Так как \(\sqrt 3 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right].\)
Ответ: а) \(2;\)
б) \(2.\)