Профиль №13. Иррациональные уравнения. Задача 17В

ОТВЕТ:  а) \(2;\)

               б) \(2.\)

а)

\(\sqrt {{x^3} + 8}  + \sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[4]{{{{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} + \sqrt[4]{{{x^3} + 8}}-6 = 0.\)

Пусть  \(\sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = t,\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\({t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -3 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sqrt[4]{{{x^3} + 8}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^3} + 8 = 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^3} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\sqrt 3 ;\,\,\sqrt 5 } \right].\)

Так как  \(\sqrt 3  < 2 = \sqrt 4  < \sqrt 5 ,\)  то  \(x = 2 \in \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right].\)

Ответ:  а) \(2;\)

             б) \(2.\)