18В. а) Решите уравнение \(\sqrt {3{x^2}-2x + 15} + \sqrt {3{x^2}-2x + 8} = 7\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{1}{{\sqrt 8 }};\;1} \right)\).
ОТВЕТ: а) \(-\frac{1}{3};\;\;\;\;1;\) б) \(-\frac{1}{3}.\)
а) \(\sqrt {3{x^2}-2x + 15} + \sqrt {3{x^2}-2x + 8} = 7.\) Пусть \(3{x^2}-2x = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(\sqrt {t + 15} + \sqrt {t + 8} = 7.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 15 \ge 0,}\\{t + 8 \ge 0\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \ge -8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t} \right. \in \left[ {-8;\infty } \right).\) \(\sqrt {t + 15} + \sqrt {t + 8} = 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {t + 15} = 7-\sqrt {t + 8} .\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7-\sqrt {t + 8} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;}\\{t + 15 = 49-14\sqrt {t + 8} + t + 8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {t + 8} \le 7,\;\;\;\;\,}\\{14\sqrt {t + 8} = 42}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {t + 8} \le 7,}\\{\sqrt {t + 8} = 3\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le t + 8 \le 49,}\\{t + 8 = 9\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-8 \le t \le 41,}\\{t = 1\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\) Вернёмся к прежней переменной: \(3{x^2}-2x-1\; = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -\frac{1}{3},}\\{{x} = 1.\;\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left[ {-\frac{1}{{\sqrt 8 }};\;1} \right).\) Так как \(-\frac{1}{{\sqrt 8 }} < -\frac{1}{{\sqrt 9 }} = -\frac{1}{3} < 1,\) то \(x = -\frac{1}{3} \in \left[ {-\frac{1}{{\sqrt 8 }};1} \right).\) \(x = 1 \notin \left[ {-\frac{1}{{\sqrt 8 }};1} \right).\) Ответ: а) \(-\frac{1}{3};\;\;\;\;1;\) б) \(-\frac{1}{3}.\)