а) \(\sqrt {{x^2} + 5x + 3} -\sqrt {{x^2} + 5x-2} = 1.\)
Пусть \({x^2} + 5x = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(\sqrt {t + 3} -\sqrt {t-2} = 1.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 \ge 0,}\\{t-2 \ge 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t} \right. \in \left[ {2;\infty } \right).\)
\(\sqrt {t + 3} -\sqrt {t-2} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {t + 3} = 1 + \sqrt {t-2} .\)
Так как обе части исходного уравнения неотрицательны при \(t \in \left[ {\left. {2;\infty } \right)} \right.,\) то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней.
\(\sqrt {t + 3} = 1 + \sqrt {t-2} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 3 = 1 + 2\sqrt {t-2} + t-2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sqrt {t-2} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {t-2} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t-2 = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 6.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\({x^2} + 5x = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 5x-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 1,\;\;\;}\\{{x} = -6.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {37} ;\;\sqrt {0,8} } \right].\)
Так как \(1 = \sqrt 1 > \sqrt {0,8} ,\) то \(x = 1 \notin \left[ {-\sqrt {37} ;\sqrt {0,8} } \right].\)
Так как \(-\sqrt {37} < -\sqrt {36} = -6 < \sqrt {0,8} ,\) то \(x = -6 \in \left[ {-\sqrt {37} ;\sqrt {0,8} } \right].\)
Ответ: а) \(-6;\;\;\;\;1;\)
б) \(-6.\)