2В. а) Решите уравнение \(\sqrt {{x^2} + 9} -\sqrt {{x^2}-7} = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt {17} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-4;\;\;\;\;4;\) б) \(4.\)
а) \(\sqrt {{x^2} + 9} -\sqrt {{x^2}-7} = 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 9 \ge 0,\\{x^2}-7 \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \in R,\\\left( {x-\sqrt 7 } \right)\left( {x + \sqrt 7 } \right) \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\left. {-\infty ;-\sqrt 7 } \right]} \right. \cup \left[ {\left. {\sqrt 7 ;\infty } \right)} \right..\) \(\sqrt {{x^2} + 9} -\sqrt {{x^2}-7} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{x^2} + 9} = \sqrt {{x^2}-7} + 2.\) Так как обе части последнего уравнения неотрицательны при \(x \in \left( {\left. {-\infty ;-\sqrt 7 } \right]} \right. \cup \left[ {\left. {\sqrt 7 ;\infty } \right)} \right.,\) то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней. \({\left( {\sqrt {{x^2} + 9} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {{x^2}-7} + 2} \right)^2}\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 9 = {x^2}-7 + 4\sqrt {{x^2}-7} + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\sqrt {{x^2}-7} = 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{x^2}-7} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-7 = 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;}\\{x = -4.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\sqrt {17} } \right].\) Так как \(0 < 4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} ,\) то \(x = 4 \in \left[ {0;\sqrt {17} } \right].\) \(x = -4 \notin \left[ {0;\;\sqrt {17} } \right].\) Ответ: а) \(-4;\;\;\;\;4;\) б) \(4.\)