а)
\(3\,\sqrt[3]{x}-5\,\sqrt[3]{{{x^{-1}}}} = 2{x^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt[3]{x}-5\sqrt[3]{{\dfrac{1}{x}}} = \dfrac{2}{x}.\)
Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\)
\(3\sqrt[3]{x}-5\sqrt[3]{{\dfrac{1}{x}}} = \dfrac{2}{x}\left| { \cdot x} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x\sqrt[3]{x}-5x\sqrt[3]{{\dfrac{1}{x}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt[3]{{{x^4}}}-5\sqrt[3]{{{x^2}}}-2 = 0.\)
Пусть \(\sqrt[3]{{{x^2}}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид:
\(3{t^2}-5t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -\dfrac{1}{3} < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sqrt[3]{{{x^2}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 2\sqrt 2 .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-2;\;3} \right].\)
Так как \(-2 < 2\sqrt 2 = \sqrt 8 < \sqrt 9 = 3,\) то \(x = 2\sqrt 2 \in \left[ {-2;3} \right].\)
Так как \(-2\sqrt 2 = -\sqrt 8 < -\sqrt 4 = -2,\) то \(x = -2\sqrt 2 \notin \left[ {-2;3} \right].\)
Ответ: а) \( \pm 2\sqrt 2 ;\)
б) \(2\sqrt 2 .\)