20В. а) Решите уравнение \(3\,\sqrt[3]{x}-5\,\sqrt[3]{{{x^{-1}}}} = 2{x^{-1}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-2;\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm 2\sqrt 2 ;\) б) \(2\sqrt 2 .\)
а) \(3\,\sqrt[3]{x}-5\,\sqrt[3]{{{x^{-1}}}} = 2{x^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt[3]{x}-5\sqrt[3]{{\frac{1}{x}}} = \frac{2}{x}.\) Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\) \(3\sqrt[3]{x}-5\sqrt[3]{{\frac{1}{x}}} = \frac{2}{x}\left| { \cdot x} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x\sqrt[3]{x}-5x\sqrt[3]{{\frac{1}{x}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt[3]{{{x^4}}}-5\sqrt[3]{{{x^2}}}-2 = 0.\) Пусть \(\sqrt[3]{{{x^2}}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(3{t^2}-5t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -\frac{1}{3} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sqrt[3]{{{x^2}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 2\sqrt 2 .\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-2;\;3} \right].\) Так как \(-2 < 2\sqrt 2 = \sqrt 8 < \sqrt 9 = 3,\) то \(x = 2\sqrt 2 \in \left[ {-2;3} \right].\) Так как \(-2\sqrt 2 = -\sqrt 8 < -\sqrt 4 = -2,\) то \(x = -2\sqrt 2 \notin \left[ {-2;3} \right].\) Ответ: а) \( \pm 2\sqrt 2 ;\) б) \(2\sqrt 2 .\)