21В. а) Решите уравнение \(2{x^2} + 3x-5\sqrt {2{x^2} + 3x + 9} + 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt {20} ;\;\sqrt {10} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-4,5;\;\;\;\;3;\) б) \(3.\)
а) \(2{x^2} + 3x-5\sqrt {2{x^2} + 3x + 9} + 3 = 0.\) Пусть \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 9} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(2{x^2} + 3x + 9 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2} + 3x = {t^2}-9.\) Исходное уравнение примет вид: \({t^2}-9-5t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-5t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 6,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = -1 < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 9} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2} + 3x + 9 = 36\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2} + 3x-27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;\;\;\;}\\{{x} = -4,5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {20} ;\;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(-\sqrt {20} < 3 = \sqrt 9 < \sqrt {10} ,\) то \(x = 3 \in \left[ {-\sqrt {20} ;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(-4,5 = -\sqrt {20,25} < -\sqrt {20} ,\) то \(x = -4,5 \notin \left[ {-\sqrt {20} ;\sqrt {10} } \right].\) Ответ: а) \(-4,5;\;\;\;\;3;\) б) \(3.\)