а) \({x^2} + 3x-18 + 4\sqrt {{x^2} + 3x-6} = 0.\)
Пусть \(\sqrt {{x^2} + 3x-6} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \({x^2} + 3x-6 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x = {t^2} + 6.\)
Исходное уравнение примет вид:
\({t^2} + 6-18 + 4t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 4t-12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{t} = -6 < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sqrt {{x^2} + 3x-6} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x-6 = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x-10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,\;\;}\\{{x} = -5.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {26} ;\;\sqrt 3 } \right].\)
Так как \(2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 ,\) то \(x = 2 \notin \left[ {-\sqrt {26} ;\;\sqrt 3 } \right].\)
Так как \(-\sqrt {26} < -\sqrt {25} = -5 < \sqrt 3 ,\) то \(x = -5 \in \left[ {-\sqrt {26} ;\;\sqrt 3 } \right].\)
Ответ: а) \(-5;\;\;\;\;2;\)
б) \(-5.\)