23В. а) Решите уравнение \(3{x^2} + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2-15x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt {26} ;\;-1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-5;\;\;\;\;0;\) б) \(-5.\)
а) \(3{x^2} + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2-15x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3\left( {{x^2} + 5x} \right) + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2.\) Пусть \(\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \({x^2} + 5x + 1 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 5x = {t^2}-1.\) Исходное уравнение примет вид: \(3\left( {{t^2}-1} \right) + 2t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{t^2} + 2t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;}\\{{t} = -\frac{5}{3} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({x^2} + 5x + 1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 5x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -5,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt {26} ;\;-1} \right].\) Так как \(-\sqrt {26} < -\sqrt {25} = -5 < -1,\) то \(x = -5 \in \left[ {-\sqrt {26} ;\;-1} \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {-\sqrt {26} ;\;-1} \right].\) Ответ: а) \(-5;\;\;\;\;0;\) б) \(-5.\)