а) \(\sqrt {\dfrac{{3-x}}{{2 + x}}} + 3\,\sqrt {\dfrac{{2 + x}}{{3-x}}} = 4.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3-x}}{{2 + x}} \ge 0,}\\{\dfrac{{2 + x}}{{3-x}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-2;3} \right],}\\{x \in \left[ {-2;3} \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;3} \right).\)
Пусть \(\sqrt {\dfrac{{3-x}}{{2 + x}}} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(t + \dfrac{3}{t} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t^2}-4t + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,}\\{{t} = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\dfrac{{3-x}}{{2 + x}}} = 1,}\\{\sqrt {\dfrac{{3-x}}{{2 + x}}} = 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3-x}}{{2 + x}} = 1,}\\{\dfrac{{3-x}}{{2 + x}} = 9\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3-x-2-x}}{{2 + x}} = 0,\;\;\,}\\{\dfrac{{3-x-18-9x}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2x = 0,\;\;\;\;\;}\\{-15-10x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,5,\,\;}\\{x = -1,5.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{4}{3};\;\dfrac{2}{3}} \right].\)
Так как \(-\dfrac{4}{3} < 0,5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} < \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3},\) то \(x = 0,5 \in \left[ {-\dfrac{4}{3};\;\dfrac{2}{3}} \right].\)
Так как \(-1,5 = -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{9}{6} < -\dfrac{8}{6} = -\dfrac{4}{3},\) то \(x = -1,5 \notin \left[ {-\dfrac{4}{3};\;\dfrac{2}{3}} \right].\)
Ответ: а) \(-1,5;\;\;\;\;0,5;\)
б) \(0,5.\)