24В. а) Решите уравнение \(\sqrt {\frac{{3-x}}{{2 + x}}} + 3\,\sqrt {\frac{{2 + x}}{{3-x}}} = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{4}{3};\;\frac{2}{3}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1,5;\;\;\;\;0,5;\) б) \(0,5.\)
а) \(\sqrt {\frac{{3-x}}{{2 + x}}} + 3\,\sqrt {\frac{{2 + x}}{{3-x}}} = 4.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3-x}}{{2 + x}} \ge 0,}\\{\frac{{2 + x}}{{3-x}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-2;3} \right],}\\{x \in \left[ {-2;3} \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;3} \right).\) Пусть \(\sqrt {\frac{{3-x}}{{2 + x}}} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t + \frac{3}{t} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t^2}-4t + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,}\\{{t} = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\frac{{3-x}}{{2 + x}}} = 1,}\\{\sqrt {\frac{{3-x}}{{2 + x}}} = 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3-x}}{{2 + x}} = 1,}\\{\frac{{3-x}}{{2 + x}} = 9\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3-x-2-x}}{{2 + x}} = 0,\;\;\,}\\{\frac{{3-x-18-9x}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2x = 0,\;\;\;\;\;}\\{-15-10x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,5,\,\;}\\{x = -1,5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\frac{4}{3};\;\frac{2}{3}} \right].\) Так как \(-\frac{4}{3} < 0,5 = \frac{1}{2} = \frac{3}{6} < \frac{4}{6} = \frac{2}{3},\) то \(x = 0,5 \in \left[ {-\frac{4}{3};\;\frac{2}{3}} \right].\) Так как \(-1,5 = -\frac{3}{2} = -\frac{9}{6} < -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3},\) то \(x = -1,5 \notin \left[ {-\frac{4}{3};\;\frac{2}{3}} \right].\) Ответ: а) \(-1,5;\;\;\;\;0,5;\) б) \(0,5.\)