26В. а) Решите уравнение \(\sqrt[4]{{\frac{{2x + 1}}{{x-1}}}} + 2\;\sqrt[4]{{\frac{{x-1}}{{2x + 1}}}} = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;\frac{{16}}{{13}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;\;\frac{{17}}{{14}};\) б) \(\frac{{17}}{{14}}.\)
а) \(\sqrt[4]{{\frac{{2x + 1}}{{x-1}}}} + 2\;\sqrt[4]{{\frac{{x-1}}{{2x + 1}}}} = 3.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 1}}{{x-1}} \ge 0,}\\{\frac{{x-1}}{{2x + 1}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-0,5} \right] \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;-0,5} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-0,5} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Пусть \(\sqrt[4]{{\frac{{2x + 1}}{{x-1}}}} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t + \frac{2}{t} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t^2}-3t + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 1\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[4]{{\frac{{2x + 1}}{{x-1}}}} = 2,}\\{\sqrt[4]{{\frac{{2x + 1}}{{x-1}}}} = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 1}}{{x-1}} = 16,}\\{\frac{{2x + 1}}{{x-1}} = 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 1-16x + 16}}{{x-1}} = 0,}\\{\frac{{2x + 1-x + 1}}{{x-1}} = 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-14x + 17 = 0,}\\{x + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{17}}{{14}},}\\{x = -2.\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\;\frac{{16}}{{13}}} \right].\) Так как \(-1 < \frac{{17}}{{14}} = \frac{{221}}{{182}} < \frac{{224}}{{182}} = \frac{{16}}{{13}},\) то \(x = \frac{{17}}{{14}} \in \left[ {-1;\frac{{16}}{{13}}} \right].\) \(x = -2 \notin \left[ {-1;\frac{{16}}{{13}}} \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;\frac{{17}}{{14}};\) б) \(\frac{{17}}{{14}}.\)